Mått på triangel
Utifrån vår figur ser vi att sidan a är motstående katet, så vi använder oss av sinus-funktionen för att hitta längden på sidan a i det här läget hade vi även kunnat använda oss av tangens-funktion, eftersom vi nu känner till längden på den närliggande kateten :. Summan av alla vinklar i en triangel är alltid lika med °. Allt som skiljer dem åt är storleken på sidorna. Låt oss försöka förstå oss på hur varje vinkel v ger ett specifikt värde på sinus, cosinus och tangens.
Men för att kunna använda dem på ett bra sätt behöver man veta vad de betyder och hur man bör göra för att man ska få ut rätt resultat. Som vi kan se får vi fram samma värde på vinkeln v oavsett vilken av de tre trigonometriska funktionerna vi väljer att använda, vilket är helt i sin ordning. Pythagoras sats anger det viktiga och användbara sambandet mellan de tre sidornas längder i en rätvinklig triangel.
Till att börja med bör vi rita upp en figur, så att vi får överblick över triangelns sidor och vinklar, och därigenom minskar risken för att vi ska resonera fel: Utifrån den kända vinkeln är sidan b den närliggande kateten. De trigonometriska funktionerna sin, cos och tan, liksom de inversa trigonometriska funktionerna arcsin, arccos och arctan, finns alla förprogrammerade i vanliga grafritande miniräknare.
Vi fyller i våra kända värden i formeln för sinus. Till att börja med bör vi rita upp en figur, så att vi får överblick över triangelns sidor och vinklar, och därigenom minskar risken för att vi ska resonera fel:. Vi börjar med att identifiera vinkeln som avses i texten: det är den spetsiga vinkeln till höger i triangeln. Eftersom rätvinkliga trianglar med samma vinkel är likformiga räcker det med att veta denna vinkel och storleken på en av sidorna för att bestämma den okända längden.
Ställ den på Pluggakuten.
Trigonometri
I det här avsnittet ska vi undersöka rätvinkliga trianglar, men denna gång ska vi hitta samband mellan längden på triangelns sidor och dess spetsiga vinklar. Förenklat kan vi säga att inversa funktioner gör motsatsen till vad den vanliga funktioner gör. Nu testar vi att göra samma sak med hjälp av sinus-funktionen. Sinus, cosinus och tangens är med andra ord bara olika namn för de kvoter som man kan ställa upp mellan en rätvinklig triangels sidor.
Det ser ut som att värdena är desamma, oberoende av storleken på triangeln. Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger förhållandet mellan längderna på en rätvinklig triangels sidor.
Minns definitionerna från innan:. De trigonometriska funktionerna kan ses som namn på de förhållanden som ställs upp mellan en rätvinklig triangels sidor. Vi har en rätvinklig triangel, där vi vet att den ena kateterns längd är \(3\) cm och hypotenusans längd är \(5\) cm. De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns på olika sätt i relation till vinkeln som vi studerar:. Med andra ord är de trigonometriska funktionernas värden enbart beroende av vinkeln i sig.
Sidornas längd kan väljas fritt förutsatt att en sida aldrig är längre än summan av de två andra sidorna. Vad för samband verkar det finnas mellan värdena för sinus, cosinus och tangens i respektive fall? Exempel. Utifrån den kända vinkeln är sidan b den närliggande kateten. Trigonometriska funktioner Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger förhållandet mellan längderna på en rätvinklig triangels sidor.
Räknare för triangelns area, sida och vinkel
Eftersom vi känner till längden på hypotenusan, så använder vi oss av cosinus-funktionen för att bestämma längden på sidan b. Frågan är om vi, givet en viss kvot, kan beräkna vilken vinkel det är som spänns upp av triangeln. Beräkna en okänd vinkel Frågan är om vi, givet en viss kvot, kan beräkna vilken vinkel det är som spänns upp av triangeln. Vi använder Pythagoras sats för att få fram längden på den andra katetern.
Detta är benämningar vi kommer att använda mycket framöver. En triangel är en geometrisk figur som består av tre sidor och tre hörn. Har du en fråga du vill ställa om Trigonometri? Dessa inversa trigonometriska funktioner kan vi alltså använda för att ta reda på hur stor en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är, om vi känner till längden på minst två av triangelns sidor eller mer konkret, deras förhållande. Vi testar först att räkna ut vinkeln v med hjälp av cosinus-funktionen.
Dessa trigonometriska funktioner kan vi använda för att ta reda på den okända längden på en av en rätvinklig triangels sidor, om vi känner till längden på en av de andra sidorna och storleken på en av triangelns spetsiga vinklar. Med en miniräknare får vi att:. I bilden nedan har vi ritat tre trianglar som alla har samma form, dvs. Exempelvis kan vi beräkna alla förhållanden för triangeln nedan:. Trigonometri Teori Videolektion Begrepp Övningar Pythagoras sats anger det viktiga och användbara sambandet mellan de tre sidornas längder i en rätvinklig triangel.
Det är dock viktigt att alltid ha en bild av vad det är man gör. Detta värde anger alltså kvoten mellan två av längderna på triangelns sidor - vilka två sidor det rör sig om, det beror på vilken av de tre trigonometriska funktionerna vi använder, enligt formlerna ovan. Tänk själv på om det även hade gått att använda sinusfunktionen för att bestämma sidan b. Alla likformiga, rätvinkliga trianglar har då samma förhållande mellan sina sidor; samma sinus, cosinus och tangens.
För att hantera denna fråga introducerar vi det inversa värdet till sinus, cosinus och tangens. Vi fyller i de värden vi känner till i formeln för cosinus:.